了解浮点数学错误

了解浮点数学错误
了解浮点数学错误
Arthur Petit
2024年6月23日星期日 上午12:26:37

探索浮点运算的奥秘

在计算机科学领域，浮点运算常常会导致意想不到的结果。一个典型的例子是表达式 0.1 + 0.2 == 0.3，令人惊讶的是，它的计算结果为 false。这引发了关于浮点计算的可靠性以及它们是否从根本上被破坏的问题。

这些不准确性源于计算机处理浮点数的方式。虽然它们努力准确地表示十进制值，但二进制表示的局限性会导致小错误累积，从而导致结果与我们的预期略有不同。

命令 描述
Math.abs() 返回数字的绝对值，对于比较浮点差异很有用。
areAlmostEqual() 一个自定义函数，旨在检查两个浮点数是否近似相等。
epsilon 用于确定两个浮点数之间可接受的差异以进行相等性检查的小值。
console.log() 将信息输出到控制台，对于调试和验证结果很有用。
abs() 返回数字绝对值的 Python 函数，此处用于比较浮点差异。
System.out.println() 用 Java 将文本打印到控制台，用于显示结果和调试。
Math.abs() 返回数字绝对值的 Java 方法，对于比较浮点数至关重要。

解决浮点比较问题

在提供的脚本中，我们的目标是解决准确比较浮点数的常见问题。出现此问题的原因是像 0.1 和 0.2 这样的数字无法用二进制精确表示，导致在执行算术运算时出现意外结果。为了解决这个问题，我们创建一个自定义函数 areAlmostEqual() 在每种语言中将数字与由参数定义的容差级别进行比较 epsilon。这 Math.abs() JavaScript 和 Java 中的函数，以及 abs() Python中的函数，用于查找两个数字之间的绝对差，确保它小于指定的值 epsilon。这种方法帮助我们确定两个浮点数是否“足够接近”以被视为相等。

在 JavaScript 示例中， areAlmostEqual() 调用函数来比较 0.1 + 0.2 和 0.3。类似地，在Python中，我们定义并使用 are_almost_equal() 达到同样的比较效果。 Java 示例遵循相同的模式，函数名为 areAlmostEqual()。这些脚本对于使用浮点运算的开发人员来说至关重要，因为它们提供了一种强大的方法来处理这些计算固有的不精确性。指某东西的用途 console.log() 在 JavaScript 中和 System.out.println() Java 对于显示结果和调试、确保代码按预期工作至关重要。

为什么浮点数学无法正确比较

JavaScript 示例

function areAlmostEqual(num1, num2, epsilon = 0.000001) {
    return Math.abs(num1 - num2) < epsilon;
}

let result1 = 0.1 + 0.2;
let result2 = 0.3;
console.log(result1 === result2); // false
console.log(result1); // 0.30000000000000004
console.log(areAlmostEqual(result1, result2)); // true

在 Python 中处理浮点精度

Python 示例

def are_almost_equal(num1, num2, epsilon=1e-6):
    return abs(num1 - num2) < epsilon

result1 = 0.1 + 0.2
result2 = 0.3
print(result1 == result2) # False
print(result1) # 0.30000000000000004
print(are_almost_equal(result1, result2)) # True

在 Java 中处理浮点运算

Java示例

public class FloatingPointComparison {
    public static boolean areAlmostEqual(double num1, double num2, double epsilon) {
        return Math.abs(num1 - num2) < epsilon;
    }
    public static void main(String[] args) {
        double result1 = 0.1 + 0.2;
        double result2 = 0.3;
        System.out.println(result1 == result2); // false
        System.out.println(result1); // 0.30000000000000004
        System.out.println(areAlmostEqual(result1, result2, 1e-6)); // true
    }
}

探索二进制表示和精度限制

浮点运算不准确的另一个关键方面在于十进制数的二进制表示形式。计算机使用以 2 为基数（二进制）的系统来表示数字，这与人类常用的以 10 为基数（十进制）的系统不同。某些十进制分数（例如 0.1 或 0.2）没有精确的二进制表示形式。当这些数字存储在计算机内存中时，这会导致微小的错误。这些错误在算术运算过程中变得很明显，因为轻微的不准确性会加剧，从而导致意外的结果。

IEEE 754 标准管理大多数现代计算系统中的浮点运算。该标准定义了表示浮点数的格式，包括符号、指数和分数的位分配。虽然这种格式允许使用较大范围的值，但它也引入了精度限制。该标准指定了单精度和双精度格式，双精度为分数提供更多位数，从而提供更高的精度。尽管如此，二进制表示的基本问题仍然存在，这使得开发人员理解并解释代码中的这些限制至关重要。

有关浮点运算的常见问题

  1. 为什么浮点数会导致不准确？
  2. 浮点数会导致不准确，因为一些十进制值无法精确地用二进制表示，从而导致计算中出现小错误。
  3. 什么是 IEEE 754 标准？
  4. IEEE 754 标准是一项广泛采用的准则，它定义了计算机中表示浮点数的格式，包括它们的存储和计算方式。
  5. 二进制表示如何影响浮点运算？
  6. 二进制表示会影响浮点运算，因为某些小数部分无法精确地用二进制表示，从而导致精度误差。
  7. 的作用是什么 epsilon 在浮点比较中？
  8. 的作用 epsilon 在浮点比较中，定义一个小的容差值有助于确定两个数字是否近似相等，从而解决较小的精度误差。
  9. 我们为什么使用 Math.abs() 在比较中？
  10. 我们用 Math.abs() 在比较中计算两个数字之间的绝对差异，确保差异在由下式定义的可接受的容差范围内 epsilon。
  11. 浮点错误可以完全消除吗？
  12. 不，由于二进制表示的固有限制，浮点错误无法完全消除，但可以使用适当的技术对其进行管理和最小化。
  13. 单精度和双精度有什么区别？
  14. 单精度比双精度使用更少的小数位数，从而导致精度较低。双精度提供更多位，以更多内存使用为代价提供更高的精度。
  15. 如何 areAlmostEqual() 功能工作？
  16. 这 areAlmostEqual() 函数通过检查两个浮点数的绝对差是否小于一个小值来比较两个浮点数， epsilon，表明它们近似相等。
  17. 为什么理解浮点运算对开发人员很重要？
  18. 了解浮点运算对于开发人员确保准确的数值计算、避免意外错误以及编写可靠的软件非常重要，尤其是在科学和金融应用中。

关于浮点运算的最终想法

总之，浮点运算并没有从根本上被破坏，但由于二进制表示的限制，它确实带来了挑战。通过了解这些限制并采用基于 epsilon 的比较等技术，开发人员可以有效管理并最大程度地减少计算中的精度误差。认识并适当处理这些问题对于开发可靠的软件至关重要，特别是在需要高数值精度的领域。