క్రాసింగ్లు లేకుండా గ్రాఫ్లను విజువలైజింగ్ చేయడం: ఔటర్ప్లానార్ ఎంబెడ్డింగ్ కోసం క్వెస్ట్
మీరు నెట్వర్క్ రూటింగ్ సిస్టమ్ని డిజైన్ చేస్తున్నారని మరియు మీ కనెక్షన్లు స్పష్టంగా మరియు సమర్థవంతంగా ఉన్నాయని నిర్ధారించుకోవాల్సిన అవసరం ఉందని ఊహించుకోండి. మీ గ్రాఫ్ అంచులు అనవసరంగా దాటడం మీకు ఇష్టం లేదు-అది వీధులు అస్తవ్యస్తంగా ఉన్న నగర మ్యాప్ని గీయడం లాంటిది. అటువంటి దృశ్యాలలో, ప్లానార్ మరియు ఔటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్లు వంటి అంశాలు అమూల్యమైనవిగా మారతాయి. 🌐
NetworkX యొక్క `check_planarity` వంటి సాధనాలు ప్లానర్ ఎంబెడ్డింగ్లను అందజేస్తుండగా, ఔటర్ప్లానార్ ఎంబెడ్డింగ్ల కోసం ఇదే విధమైన అల్గారిథమ్ను కనుగొనడం ఒక ప్రత్యేక సవాలుగా ఉంది. ఔటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్లు గ్రాఫ్ యొక్క అపరిమిత ముఖంపై అన్ని శీర్షాలను ఉంచడం ద్వారా ఈ భావనను మరింత ముందుకు తీసుకువెళతాయి, నిర్దిష్టమైన మరియు దృశ్యమానంగా విభిన్నమైన లేఅవుట్ను సృష్టిస్తాయి.
ఈ అంశం కేవలం సైద్ధాంతికమైనది కాదు; ఇది రూటింగ్, విజువలైజేషన్ మరియు గ్రాఫ్ థియరీ పరిశోధనలో వాస్తవ-ప్రపంచ అనువర్తనాలను కలిగి ఉంది. ఉదాహరణకు, క్లియర్ ఎడ్జ్ ప్రాతినిధ్యం అనుకరణ సిస్టమ్లో తప్పుగా సంభాషించడాన్ని నివారించడంలో సహాయపడే నెట్వర్క్ ప్రయోగాన్ని ఊహించండి. ఇటువంటి అవసరాలు ఖచ్చితమైన వివరణల కోసం ఔటర్ప్లానార్ ఎంబెడ్డింగ్లను కీలకం చేస్తాయి. 📈
ఈ కథనంలో, మేము ఔటర్ప్లానార్ ఎంబెడ్డింగ్లను రూపొందించడంలో సమస్యను విశ్లేషిస్తాము, గ్రాఫ్ థియరీ నిర్వచనాలను పరిశోధిస్తాము మరియు అమలు కోసం వ్యూహాలను పరిశీలిస్తాము. మీరు గణిత అల్గారిథమ్పై పని చేస్తున్న డెవలపర్ అయినా లేదా గ్రాఫ్లను ప్రభావవంతంగా విజువలైజ్ చేయాలనే ఆసక్తితో ఉన్నా, ఈ గైడ్ మీ మార్గాన్ని వెలిగించడమే లక్ష్యంగా పెట్టుకుంది.
| ఆదేశం | ఉపయోగం యొక్క ఉదాహరణ |
|---|---|
| nx.is_connected(graph) | గ్రాఫ్ కనెక్ట్ చేయబడిందో లేదో తనిఖీ చేస్తుంది, ఇది ఔటర్ప్లానారిటీ వంటి లక్షణాలను నిర్ణయించడానికి కీలకమైనది. |
| nx.check_planarity(graph) | గ్రాఫ్ సమతలంగా ఉందో లేదో చూపుతుంది మరియు అది ఉంటే ప్లానర్ ఎంబెడ్డింగ్ను అందిస్తుంది. గ్రాఫ్ ప్లానర్ పరిమితులకు అనుగుణంగా ఉందని నిర్ధారించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. |
| nx.cycle_basis(graph) | గ్రాఫ్లోని అన్ని సాధారణ చక్రాలను గుర్తిస్తుంది. ఔటర్ప్లానరిటీని నిర్ణయించడంలో కీలకమైన కార్డ్లెస్ సైకిల్స్ను గుర్తించడం కోసం అవసరం. |
| embedding.add_half_edge_cw(u, v) | ఎంబెడ్డింగ్ను నిర్మించడం కోసం సవ్య క్రమంలో నోడ్ u నుండి నోడ్ v వరకు సగం అంచుని జోడిస్తుంది. |
| nx.chordless_cycles(graph) | తీగలు లేకుండా చక్రాలను కనుగొంటుంది (వరుసగా లేని నోడ్లను కనెక్ట్ చేసే అంచులు). ఔటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్లను ధృవీకరించడంలో సహాయపడుతుంది. |
| nx.PlanarEmbedding() | ప్లానర్ ఎంబెడ్డింగ్లు మరియు కార్యకలాపాలను నిల్వ చేయడానికి ఒక నిర్మాణాన్ని సృష్టిస్తుంది. ఎడ్జ్ ఆర్డర్లను నిర్వహించడానికి మరియు ధృవీకరించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. |
| embedding.items() | పొరుగువారికి మరియు ధృవీకరణ లేదా విజువలైజేషన్ కోసం అంచు క్రమాన్ని అందించడం ద్వారా పొందుపరిచిన నోడ్ల ద్వారా పునరావృతమవుతుంది. |
| unittest.TestCase | పైథాన్ స్క్రిప్ట్ల కోసం టెస్టింగ్ ఫ్రేమ్వర్క్ను నిర్వచిస్తుంది, పరీక్ష కేసుల్లో పొందుపరిచే పద్ధతుల యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని నిర్ధారిస్తుంది. |
| self.assertRaises(ValueError) | ఔటర్ప్లానార్ కాని గ్రాఫ్ను పొందుపరచడానికి ప్రయత్నించడం వంటి చెల్లని ఆపరేషన్ల సమయంలో నిర్దిష్ట లోపం తలెత్తినట్లు తనిఖీ చేస్తుంది. |
పైథాన్తో ఔటర్ప్లానార్ ఎంబెడ్డింగ్ను అర్థం చేసుకోవడం
మొదటి స్క్రిప్ట్ నెట్వర్క్ఎక్స్ సాధనాలను ఉపయోగించడం ద్వారా గ్రాఫ్ ఔటర్ప్లానార్ కాదా అని తనిఖీ చేస్తుంది. గ్రాఫ్ `is_connected` ఫంక్షన్ని ఉపయోగించి కనెక్ట్ చేయబడిందో లేదో ధృవీకరించడం ద్వారా ఇది ప్రారంభమవుతుంది, ఎందుకంటే ఔటర్ప్లానార్ లక్షణాలకు అన్ని భాగాలు కనెక్ట్ చేయబడిన నిర్మాణంలో భాగం కావాలి. తర్వాత, ఇది గ్రాఫ్ ప్లానర్ అని నిర్ధారించడానికి `చెక్_ప్లానరిటీ`ని ఉపయోగిస్తుంది-అవుటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్ల కోసం ఇది అవసరం. ఔటర్ప్లానార్ పరిమితులకు అనుగుణంగా లేని శీర్షాలను గుర్తించడానికి అవసరమైన కార్డ్లెస్ సైకిల్స్ను గుర్తించడానికి గ్రాఫ్ యొక్క చక్ర ఆధారం మూల్యాంకనం చేయబడుతుంది. ఉదాహరణకు, లోపలి లూప్లు లేకుండా ప్రతి ఖండన దాని పరిసరాలకు నేరుగా కనెక్ట్ అయ్యే వీధుల నెట్వర్క్ ఈ చెక్ను పాస్ చేస్తుంది. 🛣️
గ్రాఫ్ అవసరమైన అన్ని పరీక్షలలో ఉత్తీర్ణత సాధించినప్పుడు రెండవ స్క్రిప్ట్ అసలు ఔటర్ప్లానార్ ఎంబెడ్డింగ్ను ఉత్పత్తి చేస్తుంది. డెప్త్-ఫస్ట్ సెర్చ్ (DFS) విధానాన్ని ఉపయోగించి, ఇది `add_half_edge_cw` ఫంక్షన్ ద్వారా "సగం అంచులు" జోడించడం ద్వారా ప్రతి అంచుని సవ్యదిశలో ప్రాసెస్ చేస్తుందని నిర్ధారిస్తుంది. ఇది గ్రాఫ్ యొక్క ఎంబెడ్డింగ్ యొక్క నిర్దిష్ట నిర్మాణాన్ని నిర్వహిస్తుంది. ఉదాహరణకు, నెట్వర్క్ ప్రయోగంలో, ఈ ఆర్డర్ పొందుపరచడం అనవసరమైన సంక్లిష్టత లేకుండా చిన్నదైన మార్గాలను గుర్తించడానికి రూటింగ్ అల్గారిథమ్ని అనుమతిస్తుంది. ఈ పద్ధతితో, గ్రాఫ్ దాని ఔటర్ప్లానార్ లక్షణాలను నిర్వహిస్తుంది, ఇది దృశ్యమానంగా స్పష్టంగా మరియు గణితశాస్త్రపరంగా చెల్లుబాటు అయ్యేలా చేస్తుంది. 🔄
అల్గారిథమ్ల విశ్వసనీయతను నిర్ధారిస్తూ, యూనిట్ పరీక్ష పరిష్కారం యొక్క మూడవ భాగంలో కవర్ చేయబడింది. ఇక్కడ, ఔటర్ప్లానార్ ప్రమాణాలకు అనుగుణంగా ఉండే గ్రాఫ్ల కోసం పొందుపరిచే ప్రక్రియ పని చేస్తుందని `unitest` లైబ్రరీ ధృవీకరిస్తుంది. ఒక పరీక్ష సాధారణ సైకిల్ గ్రాఫ్ని తనిఖీ చేస్తుంది, అయితే మరొకటి ఉద్దేశపూర్వకంగా అవుటర్ప్లానార్ కాని గ్రాఫ్ని ఉపయోగిస్తుంది, పూర్తి గ్రాఫ్ వంటిది, ఫంక్షన్ సముచితంగా లోపాన్ని లేవనెత్తుతుంది. ఈ క్రమబద్ధమైన పరీక్ష కేవలం ఎడ్జ్ కేసులను హైలైట్ చేయడమే కాకుండా పెద్ద లేదా మరింత సంక్లిష్టమైన దృష్టాంతాల కోసం పరిష్కారాలను పునర్వినియోగపరచగలదని నిర్ధారిస్తుంది. ఈ రకమైన కఠినమైన ధృవీకరణ ముఖ్యంగా నెట్వర్క్ డిజైన్ ప్రయోగాలలో ఉపయోగపడుతుంది, ఇక్కడ లోపాలు క్యాస్కేడ్ మరియు ముఖ్యమైన సమస్యలకు దారితీయవచ్చు.
ఆచరణాత్మక అనువర్తనాల్లో, ఇటువంటి అల్గోరిథంలు అమూల్యమైనవి. ఉదాహరణకు, ట్రాన్స్పోర్ట్ నెట్వర్క్ లేదా కంప్యూటర్ నెట్వర్క్ రూటింగ్ ప్రయోగంలో, ఔటర్ప్లానార్ ఎంబెడ్డింగ్ విజువలైజేషన్లను సులభతరం చేస్తుంది, ఇంజనీర్లు గ్రాఫ్ యొక్క లేఅవుట్ను ఒక చూపులో అర్థం చేసుకోవడానికి అనుమతిస్తుంది. మాడ్యులర్ స్క్రిప్ట్లు, వాస్తవ-ప్రపంచ పరీక్ష మరియు కఠినమైన ధ్రువీకరణ కలయిక ఈ విధానాన్ని అత్యంత అనుకూలమైనదిగా చేస్తుంది. గ్రాఫ్ థియరీ రీసెర్చ్లో ఉపయోగించబడినా లేదా ప్రాక్టికల్ సిస్టమ్లకు వర్తింపజేయబడినా, ఈ స్క్రిప్ట్లు ఔటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్లతో పని చేయడానికి స్పష్టమైన, ఆప్టిమైజ్ చేసిన మార్గాన్ని అందిస్తాయి, వీటిని ఫీల్డ్లోని డెవలపర్ లేదా పరిశోధకుడికి బలమైన సాధనంగా మారుస్తాయి. 💻
NetworkXని ఉపయోగించి ఔటర్ప్లానార్ ఎంబెడ్డింగ్ అల్గారిథమ్ను రూపొందిస్తోంది
నెట్వర్క్ఎక్స్ని ఉపయోగించి గ్రాఫ్ థియరీ అప్రోచ్తో ఔటర్ప్లానార్ ఎంబెడింగ్ను నిర్మించడానికి పైథాన్ స్క్రిప్ట్
import networkx as nxdef is_outerplanar(graph):"""Check if a graph is outerplanar using the chordal graph method."""if not nx.is_connected(graph):raise ValueError("Graph must be connected")if not nx.check_planarity(graph)[0]:return Falsefor cycle in nx.cycle_basis(graph):chordless_graph = graph.copy()chordless_graph.remove_edges_from(list(nx.chordless_cycles(graph)))if not nx.is_tree(chordless_graph):return Falsereturn True
నోడ్ ప్లేస్మెంట్తో ఔటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్ను పొందుపరచడం
గ్రాఫ్ ఔటర్ప్లానార్ అయితే, ప్రతి నోడ్కు సవ్యదిశలో అంచుల క్రమాన్ని అందించే పైథాన్ స్క్రిప్ట్
import networkx as nxdef outerplanar_embedding(graph):"""Generate an outerplanar embedding using DFS."""if not is_outerplanar(graph):raise ValueError("Graph is not outerplanar.")embedding = nx.PlanarEmbedding()for u, v in graph.edges():embedding.add_half_edge_cw(u, v)embedding.add_half_edge_cw(v, u)return embeddinggraph = nx.cycle_graph(6)embedding = outerplanar_embedding(graph)for node, neighbors in embedding.items():print(f"Node {node} has edges {list(neighbors)}")
పరీక్ష కేసుల్లో ఔటర్ప్లానార్ ఎంబెడ్డింగ్ని ధృవీకరిస్తోంది
ఎంబెడ్డింగ్ జనరేషన్ యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని నిర్ధారించడానికి పైథాన్ యూనిట్ పరీక్షలు
import unittestimport networkx as nxclass TestOuterplanarEmbedding(unittest.TestCase):def test_outerplanar_graph(self):graph = nx.cycle_graph(5)embedding = outerplanar_embedding(graph)self.assertTrue(is_outerplanar(graph))self.assertEqual(len(embedding), len(graph.nodes))def test_non_outerplanar_graph(self):graph = nx.complete_graph(5)with self.assertRaises(ValueError):outerplanar_embedding(graph)if __name__ == "__main__":unittest.main()
నెట్వర్క్ విజువలైజేషన్లో ఔటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్ల పాత్రను అన్వేషించడం
ఔటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్లు నెట్వర్క్ రూటింగ్, సర్క్యూట్ డిజైన్ మరియు డేటా విజువలైజేషన్ వంటి ప్రాంతాల్లో అప్లికేషన్లను కనుగొనే ప్లానార్ గ్రాఫ్లు యొక్క చమత్కారమైన ఉపసమితి. సాధారణ ప్లానర్ గ్రాఫ్ల మాదిరిగా కాకుండా, ఔటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్లు అన్ని శీర్షాలు డ్రాయింగ్ యొక్క అపరిమిత ముఖానికి చెందినవని నిర్ధారిస్తాయి. ఈ ప్రత్యేక లక్షణం వాటిని క్రమానుగత వ్యవస్థలకు ప్రత్యేకంగా అనుకూలంగా చేస్తుంది, ఇక్కడ అంచు స్పష్టతను నిర్వహించడం మరియు అతివ్యాప్తిని నివారించడం చాలా ముఖ్యం. ఉదాహరణకు, ప్రతి వ్యక్తి విభిన్నమైన, సులభంగా గుర్తించగలిగే సంబంధాలతో అనుసంధానించబడిన ఒక చిన్న సోషల్ నెట్వర్క్ను దృశ్యమానం చేయడం ఔటర్ప్లానార్ లేఅవుట్ నుండి ప్రయోజనం పొందవచ్చు. 🔄
ఔటర్ప్లానార్ ఎంబెడ్డింగ్ల యొక్క ఒక ముఖ్య ప్రయోజనం దృశ్య మరియు గణన సంక్లిష్టతను తగ్గించడంలో వాటి సామర్థ్యం. ఈ ఎంబెడ్డింగ్లను రూపొందించే అల్గారిథమ్లు సాధారణంగా తీగరహిత చక్రాలను గుర్తించడం మరియు అంచుల సవ్యదిశలో నిర్వహించడం వంటివి కలిగి ఉంటాయి. నెట్వర్క్ డిజైన్ ప్రయోగాలులో ఇటువంటి పద్ధతులు అమూల్యమైనవి, ఇక్కడ విజువలైజేషన్ను సరళీకృతం చేయడం వలన ఇంజనీర్లు లేదా పరిశోధకులు కనెక్షన్లను ఎలా అర్థం చేసుకుంటారో నేరుగా ప్రభావితం చేయవచ్చు. అదనంగా, ఔటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్లు రోడ్ నెట్వర్క్లు లేదా చెట్టు లాంటి డేటా స్ట్రక్చర్ల వంటి సిస్టమ్లలో అంచు రద్దీని తగ్గించడంలో ఉపయోగపడతాయి. 🌍
ఆచరణాత్మక దృశ్యాలలో, ఔటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్లు క్రమానుగత డిపెండెన్సీ రిజల్యూషన్కు కూడా వర్తింపజేయబడతాయి. చక్రాలను సృష్టించకుండా టాస్క్ల మధ్య డిపెండెన్సీలను పరిష్కరించాల్సిన పనులను షెడ్యూల్ చేయడం గురించి ఆలోచించండి. ఔటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్ యొక్క స్పష్టత మరియు నిర్మాణం డిపెండెన్సీలను మరింత ప్రభావవంతంగా గుర్తించడంలో సహాయపడుతుంది. గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం మరియు దాని గణన అనువర్తనాల్లో ఔటర్ప్లానార్ ఎంబెడ్డింగ్ ముఖ్యమైన అంశంగా ఎందుకు ఉందో ఈ అప్లికేషన్లు హైలైట్ చేస్తాయి. ఇది సరళతను ఖచ్చితత్వంతో మిళితం చేస్తుంది, ఇది సిద్ధాంతం మరియు వాస్తవ-ప్రపంచ కార్యాచరణను వంతెన చేసే సాధనంగా చేస్తుంది. 💻
ఔటర్ప్లానార్ ఎంబెడ్డింగ్ అల్గారిథమ్ల గురించి సాధారణ ప్రశ్నలు
- ఔటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్ అంటే ఏమిటి?
- ఔటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్ అనేది ఒక రకమైన ప్లానార్ గ్రాఫ్ ఇక్కడ అన్ని శీర్షాలు గ్రాఫ్ యొక్క అపరిమిత ముఖంలో భాగం. దీనర్థం ఏ శీర్షం పూర్తిగా అంచులతో చుట్టబడి ఉండదు.
- ఈ సందర్భంలో `చెక్_ప్లానరిటీ` ఫంక్షన్ ఎలా సహాయపడుతుంది?
- ది check_planarity ఫంక్షన్ ఒక గ్రాఫ్ ప్లానర్ కాదా అని నిర్ణయిస్తుంది మరియు వీలైతే ప్లానర్ ఎంబెడ్డింగ్ను అందిస్తుంది. ఇది గ్రాఫ్ ఔటర్ప్లానార్ ఎంబెడ్డింగ్ల కోసం ప్రాథమిక అవసరాలకు అనుగుణంగా ఉందని నిర్ధారిస్తుంది.
- ఔటర్ప్లానార్ ఎంబెడ్డింగ్లలో కార్డ్లెస్ సైకిల్స్ ఎందుకు ముఖ్యమైనవి?
- కార్డ్లెస్ సైకిల్స్ ఔటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్ యొక్క పరిస్థితులను ఉల్లంఘించే అంచులను గుర్తించడంలో సహాయపడతాయి. ఫంక్షన్ nx.chordless_cycles గ్రాఫ్లో ఈ చక్రాలను కనుగొనడానికి ఉపయోగించవచ్చు.
- టాస్క్ షెడ్యూలింగ్ కోసం ఔటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్లను ఉపయోగించవచ్చా?
- అవును, అవి తరచుగా టాస్క్ షెడ్యూలింగ్ కోసం డిపెండెన్సీ గ్రాఫ్లలో వర్తింపజేయబడతాయి. స్పష్టమైన నిర్మాణం అనవసరమైన చక్రాలను సృష్టించకుండా డిపెండెన్సీలను పరిష్కరించడంలో సహాయపడుతుంది.
- ఔటర్ప్లానార్ ఎంబెడ్డింగ్ల యొక్క కొన్ని వాస్తవ-ప్రపంచ అనువర్తనాలు ఏమిటి?
- ఔటర్ప్లానార్ ఎంబెడ్డింగ్లు నెట్వర్క్ రూటింగ్, సర్క్యూట్ బోర్డ్ లేఅవుట్ డిజైన్లు మరియు సోషల్ నెట్వర్క్లు లేదా క్రమానుగత వ్యవస్థల స్పష్టమైన విజువలైజేషన్లను రూపొందించడంలో కూడా ఉపయోగించబడతాయి.
గ్రాఫ్ పొందుపరచడంపై ముగింపు ఆలోచనలు
ఔటర్ప్లానార్ ఎంబెడ్డింగ్లు గ్రాఫ్-ఆధారిత సమస్యలను విజువలైజ్ చేయడానికి మరియు ఆప్టిమైజ్ చేయడానికి నిర్మాణాత్మక మార్గాన్ని అందిస్తాయి. కార్డ్లెస్ సైకిల్ డిటెక్షన్ మరియు క్లాక్వైస్ ఎడ్జ్ ఆర్డర్ వంటి పద్ధతులపై దృష్టి సారించడం ద్వారా, అవి సంక్లిష్ట నెట్వర్క్లను అర్థమయ్యే లేఅవుట్లుగా సులభతరం చేస్తాయి. సర్క్యూట్ డిజైన్ లేదా క్రమానుగత డేటా సిస్టమ్ల వంటి అప్లికేషన్లలో ఈ స్పష్టత అమూల్యమైనది. 🔄
NetworkX వంటి సాధనాలతో, ఔటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్లను పొందుపరచడం మరింత అందుబాటులోకి వస్తుంది, పరిశోధకులు మరియు డెవలపర్లు బలమైన పరిష్కారాలతో ప్రయోగాలు చేయడానికి వీలు కల్పిస్తుంది. మీరు నెట్వర్క్ రూటింగ్పై పని చేస్తున్నా లేదా గ్రాఫ్ థియరీ యొక్క సైద్ధాంతిక అంశాలను అన్వేషిస్తున్నా, ఈ అల్గారిథమ్లు స్పష్టత మరియు ఆచరణాత్మక అంతర్దృష్టులను అందించగలవు. వారి వశ్యత అనేక రకాల సమస్యలకు అనుకూలతను నిర్ధారిస్తుంది. 💻
మూలాలు మరియు సూచనలు
- ప్లానర్ మరియు ఔటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్ల నిర్వచనంపై వివరిస్తుంది: వికీపీడియా - ఔటర్ప్లానార్ గ్రాఫ్ .
- అల్గారిథమ్లు మరియు గ్రాఫ్ థియరీ కాన్సెప్ట్ల గురించిన వివరాలు: NetworkX ప్లానరిటీ మాడ్యూల్ .
- గ్రాఫ్ ఎంబెడ్డింగ్లు మరియు ప్రాక్టికల్ అప్లికేషన్లపై నేపథ్య సమాచారం: వోల్ఫ్రామ్ మ్యాథ్వరల్డ్ - ప్లానర్ గ్రాఫ్ .