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फ़्लोटिंग-पॉइंट गणित

Arthur Petit

रविवार, 23 जून 2024 को 12:45:53 am

फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के रहस्यों की खोज

कंप्यूटर विज्ञान की दुनिया में, फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित अक्सर अप्रत्याशित परिणाम देता है। इसका एक उत्कृष्ट उदाहरण अभिव्यक्ति 0.1 + 0.2 == 0.3 है, जो आश्चर्यजनक रूप से असत्य का मूल्यांकन करता है। इससे फ़्लोटिंग-पॉइंट गणनाओं की विश्वसनीयता पर सवाल उठता है और क्या वे मौलिक रूप से टूटे हुए हैं।

ये अशुद्धियाँ कंप्यूटर द्वारा फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबरों को संभालने के तरीके से उत्पन्न होती हैं। हालाँकि वे दशमलव मानों को सटीक रूप से प्रस्तुत करने का प्रयास करते हैं, लेकिन बाइनरी प्रतिनिधित्व की सीमाओं के कारण छोटी-छोटी त्रुटियाँ जमा हो जाती हैं, जिसके परिणामस्वरूप परिणाम हमारी अपेक्षा से थोड़ा भिन्न होते हैं।

आज्ञा	विवरण
Math.abs()	किसी संख्या का पूर्ण मान लौटाता है, जो फ़्लोटिंग-पॉइंट अंतरों की तुलना करने के लिए उपयोगी है।
areAlmostEqual()	एक कस्टम फ़ंक्शन यह जाँचने के लिए डिज़ाइन किया गया है कि क्या दो फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याएँ लगभग बराबर हैं।
epsilon	समानता जांच के लिए दो फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं के बीच स्वीकार्य अंतर निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक छोटा मान।
console.log()	कंसोल पर जानकारी आउटपुट करता है, जो डिबगिंग और परिणामों को सत्यापित करने के लिए उपयोगी है।
abs()	पायथन फ़ंक्शन जो किसी संख्या का पूर्ण मान लौटाता है, फ़्लोटिंग-पॉइंट अंतरों की तुलना करने के लिए यहां उपयोग किया जाता है।
System.out.println()	जावा में कंसोल पर टेक्स्ट प्रिंट करता है, जिसका उपयोग परिणाम प्रदर्शित करने और डिबगिंग के लिए किया जाता है।
Math.abs()	जावा विधि जो किसी संख्या का पूर्ण मान लौटाती है, जो फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं की तुलना करने के लिए आवश्यक है।

फ़्लोटिंग-पॉइंट तुलना मुद्दों को हल करना

प्रदान की गई स्क्रिप्ट में, हमारा लक्ष्य फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं की सटीक तुलना करने की सामान्य समस्या को हल करना है। यह समस्या इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि 0.1 और 0.2 जैसी संख्याओं को बाइनरी में सटीक रूप से प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जिससे अंकगणितीय ऑपरेशन करते समय अप्रत्याशित परिणाम आते हैं। इसे संबोधित करने के लिए, हम एक कस्टम फ़ंक्शन बनाते हैं areAlmostEqual() प्रत्येक भाषा में पैरामीटर द्वारा परिभाषित सहनशीलता स्तर के साथ संख्याओं की तुलना करना epsilon. Math.abs() जावास्क्रिप्ट और जावा में फ़ंक्शन, और abs() पायथन में फ़ंक्शन का उपयोग दो संख्याओं के बीच पूर्ण अंतर खोजने के लिए किया जाता है, यह सुनिश्चित करते हुए कि यह निर्दिष्ट से कम है epsilon. यह दृष्टिकोण हमें यह निर्धारित करने में मदद करता है कि क्या दो फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याएँ समान माने जाने के लिए "पर्याप्त करीब" हैं।

जावास्क्रिप्ट उदाहरण में, areAlmostEqual() फ़ंक्शन को 0.1 + 0.2 की 0.3 से तुलना करने के लिए कहा जाता है। इसी प्रकार, Python में, हम परिभाषित और उपयोग करते हैं are_almost_equal() समान तुलना प्राप्त करने के लिए. जावा उदाहरण नामित फ़ंक्शन के साथ समान पैटर्न का अनुसरण करता है areAlmostEqual(). फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के साथ काम करने वाले डेवलपर्स के लिए ये स्क्रिप्ट आवश्यक हैं, क्योंकि वे इन गणनाओं की अंतर्निहित अशुद्धता को संभालने के लिए एक मजबूत तरीका प्रदान करते हैं। का उपयोग console.log() जावास्क्रिप्ट में और System.out.println() जावा में परिणाम प्रदर्शित करने और डिबगिंग के लिए महत्वपूर्ण है, यह सुनिश्चित करना कि कोड इच्छित के अनुसार काम करता है।

फ़्लोटिंग-पॉइंट गणित सही ढंग से तुलना करने में विफल क्यों रहता है?

जावास्क्रिप्ट उदाहरण

function areAlmostEqual(num1, num2, epsilon = 0.000001) {
    return Math.abs(num1 - num2) < epsilon;
}

let result1 = 0.1 + 0.2;
let result2 = 0.3;
console.log(result1 === result2); // false
console.log(result1); // 0.30000000000000004
console.log(areAlmostEqual(result1, result2)); // true

पायथन में फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रिसिजन से निपटना

पायथन उदाहरण

def are_almost_equal(num1, num2, epsilon=1e-6):
    return abs(num1 - num2) < epsilon

result1 = 0.1 + 0.2
result2 = 0.3
print(result1 == result2) # False
print(result1) # 0.30000000000000004
print(are_almost_equal(result1, result2)) # True

जावा में फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित को संभालना

जावा उदाहरण

public class FloatingPointComparison {
    public static boolean areAlmostEqual(double num1, double num2, double epsilon) {
        return Math.abs(num1 - num2) < epsilon;
    }
    public static void main(String[] args) {
        double result1 = 0.1 + 0.2;
        double result2 = 0.3;
        System.out.println(result1 == result2); // false
        System.out.println(result1); // 0.30000000000000004
        System.out.println(areAlmostEqual(result1, result2, 1e-6)); // true
    }
}

बाइनरी प्रतिनिधित्व और परिशुद्धता सीमाओं की खोज

फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणितीय अशुद्धियों का एक और महत्वपूर्ण पहलू दशमलव संख्याओं के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में निहित है। कंप्यूटर संख्याओं को दर्शाने के लिए बेस-2 (बाइनरी) प्रणाली का उपयोग करते हैं, जो मनुष्यों द्वारा आमतौर पर उपयोग की जाने वाली बेस-10 (दशमलव) प्रणाली से भिन्न होती है। कुछ दशमलव अंशों, जैसे 0.1 या 0.2, का बाइनरी में सटीक प्रतिनिधित्व नहीं होता है। जब ये नंबर कंप्यूटर की मेमोरी में संग्रहीत होते हैं तो इससे छोटी-छोटी त्रुटियां होती हैं। अंकगणितीय संक्रियाओं के दौरान ये त्रुटियाँ स्पष्ट हो जाती हैं, क्योंकि थोड़ी सी अशुद्धियाँ बढ़ती जाती हैं, जिसके परिणामस्वरूप अप्रत्याशित परिणाम मिलते हैं।

IEEE 754 मानक अधिकांश आधुनिक कंप्यूटिंग प्रणालियों में फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित को नियंत्रित करता है। यह मानक फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रारूप को परिभाषित करता है, जिसमें चिह्न, घातांक और अंश के लिए बिट्स का आवंटन शामिल है। हालाँकि यह प्रारूप मूल्यों की एक विस्तृत श्रृंखला की अनुमति देता है, यह सटीक सीमाएँ भी प्रस्तुत करता है। मानक एकल और डबल-सटीक प्रारूप निर्दिष्ट करता है, डबल परिशुद्धता के साथ अंश के लिए अधिक बिट्स की पेशकश करता है, जिससे उच्च सटीकता प्रदान होती है। इसके बावजूद, बाइनरी प्रतिनिधित्व का मूल मुद्दा बना हुआ है, जिससे डेवलपर्स के लिए अपने कोड में इन सीमाओं को समझना और उनका हिसाब देना महत्वपूर्ण हो गया है।

फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के बारे में सामान्य प्रश्न

फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याएँ अशुद्धियाँ क्यों पैदा करती हैं?
फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याएँ अशुद्धियाँ पैदा करती हैं क्योंकि कुछ दशमलव मानों को बाइनरी में सटीक रूप से प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जिससे गणना में छोटी त्रुटियाँ होती हैं।
आईईईई 754 मानक क्या है?
IEEE 754 मानक एक व्यापक रूप से अपनाया गया दिशानिर्देश है जो कंप्यूटर में फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के प्रारूप को परिभाषित करता है, जिसमें उन्हें संग्रहीत और गणना करने का तरीका भी शामिल है।
बाइनरी प्रतिनिधित्व फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित को कैसे प्रभावित करता है?
बाइनरी प्रतिनिधित्व फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित को प्रभावित करता है क्योंकि कुछ दशमलव अंशों को बाइनरी में बिल्कुल प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जिससे सटीक त्रुटियां होती हैं।
की क्या भूमिका है epsilon फ़्लोटिंग-पॉइंट तुलनाओं में?
की भूमिका epsilon फ़्लोटिंग-पॉइंट तुलना में एक छोटे सहिष्णुता मान को परिभाषित करना है जो यह निर्धारित करने में मदद करता है कि क्या दो संख्याएँ लगभग बराबर हैं, मामूली सटीक त्रुटियों के लिए लेखांकन।
हम क्यों उपयोग करते हैं Math.abs() तुलना में?
हम उपयोग करते हैं Math.abs() तुलना में दो संख्याओं के बीच पूर्ण अंतर की गणना करने के लिए, यह सुनिश्चित करते हुए कि अंतर परिभाषित स्वीकार्य सहिष्णुता के भीतर है epsilon.
क्या फ़्लोटिंग-पॉइंट त्रुटियों को पूरी तरह समाप्त किया जा सकता है?
नहीं, बाइनरी प्रतिनिधित्व की अंतर्निहित सीमाओं के कारण फ़्लोटिंग-पॉइंट त्रुटियों को पूरी तरह से समाप्त नहीं किया जा सकता है, लेकिन उचित तकनीकों का उपयोग करके उन्हें प्रबंधित और कम किया जा सकता है।
सिंगल और डबल प्रिसिजन के बीच क्या अंतर है?
एकल परिशुद्धता, दोहरी परिशुद्धता की तुलना में अंश के लिए कम बिट्स का उपयोग करती है, जिसके परिणामस्वरूप कम सटीकता होती है। दोहरी परिशुद्धता अधिक बिट्स प्रदान करती है, अधिक मेमोरी उपयोग की कीमत पर उच्च सटीकता प्रदान करती है।
कैसे करता है areAlmostEqual() फ़ंक्शन कार्य?
areAlmostEqual() फ़ंक्शन दो फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं की तुलना यह जांच कर करता है कि क्या उनका पूर्ण अंतर एक छोटे मान से कम है, epsilon, यह दर्शाता है कि वे लगभग बराबर हैं।
डेवलपर्स के लिए फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित को समझना क्यों महत्वपूर्ण है?
डेवलपर्स के लिए सटीक संख्यात्मक गणना सुनिश्चित करने, अप्रत्याशित त्रुटियों से बचने और विशेष रूप से वैज्ञानिक और वित्तीय अनुप्रयोगों में विश्वसनीय सॉफ़्टवेयर लिखने के लिए फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित को समझना महत्वपूर्ण है।

फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित पर अंतिम विचार

निष्कर्ष में, फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित मौलिक रूप से टूटा नहीं है, लेकिन यह बाइनरी प्रतिनिधित्व की सीमाओं के कारण चुनौतियां पेश करता है। इन सीमाओं को समझकर और एप्सिलॉन-आधारित तुलनाओं जैसी तकनीकों को नियोजित करके, डेवलपर्स अपनी गणना में सटीक त्रुटियों को प्रभावी ढंग से प्रबंधित और कम कर सकते हैं। विश्वसनीय सॉफ़्टवेयर विकसित करने के लिए जागरूकता और इन मुद्दों का उचित प्रबंधन महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से उच्च संख्यात्मक सटीकता की आवश्यकता वाले क्षेत्रों में।

फ़्लोटिंग-पॉइंट गणित की अशुद्धियों को समझना