জেনারালাইজড অ্যাডিটিভ মডেলগুলিতে নির্ভরযোগ্য অনুমান নিশ্চিত করা
জেনারালাইজড অ্যাডিটিভ মডেলগুলি (জিএএমএস) ডেটাতে জটিল সম্পর্কের মডেলিংয়ের জন্য একটি শক্তিশালী সরঞ্জাম হয়ে উঠেছে, বিশেষত যখন ননলাইনার প্রভাবগুলি ক্যাপচার করতে স্প্লাইনগুলি ব্যবহার করে। যাইহোক, ক্লাস্টারড জরিপের ডেটা নিয়ে কাজ করার সময়, স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি অনুমান একটি গুরুত্বপূর্ণ চ্যালেঞ্জ হয়ে ওঠে। ক্লাস্টারিং উপেক্ষা করা সঠিক পরিসংখ্যান বিশ্লেষণের জন্য শক্তিশালী মান ত্রুটিগুলি প্রয়োজনীয় করে তোলে, বিভ্রান্তিমূলক সূচনাগুলির দিকে পরিচালিত করতে পারে। 📊
জেনারালাইজড লিনিয়ার মডেলগুলির (জিএলএমএস) বিপরীতে, যেখানে স্যান্ডউইচ প্যাকেজটি ব্যবহার করে শক্তিশালী স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি অনুমান করা যেতে পারে, জিএএমএসে অনুরূপ কৌশল প্রয়োগ করে - বিশেষত যারা লাগানো হয়েছে বাম () থেকে ফাংশন এমজিসিভি প্যাকেজ - অতিরিক্ত বিবেচনার প্রয়োজন। এই সীমাবদ্ধতাটি প্রায়শই তাদের মডেলগুলিতে ক্লাস্টারিং প্রভাবগুলি অন্তর্ভুক্ত করার চেষ্টা করার সময় গবেষকদের বিস্মিত হয়ে যায়। এই সমস্যাটিকে কীভাবে সম্বোধন করবেন তা বোঝা মডেল নির্ভরযোগ্যতা উন্নত করার মূল চাবিকাঠি।
কল্পনা করুন যে আপনি একাধিক অঞ্চল জুড়ে সংগৃহীত অর্থনৈতিক জরিপের ডেটা বিশ্লেষণ করছেন এবং আপনার মডেলটিতে আয়ের প্রবণতাগুলির জন্য একটি স্প্লাইন ফাংশন অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। আপনি যদি অঞ্চলগুলির মধ্যে ক্লাস্টারিংয়ের জন্য অ্যাকাউন্টে ব্যর্থ হন তবে আপনার স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি অবমূল্যায়ন করা যেতে পারে, যা অতিরিক্ত আত্মবিশ্বাসী সিদ্ধান্তে নিয়ে যায়। এই দৃশ্যটি এপিডেমিওলজি, ফিনান্স এবং সামাজিক বিজ্ঞানের মতো ক্ষেত্রগুলিতে সাধারণ, যেখানে গোষ্ঠীযুক্ত ডেটা স্ট্রাকচারগুলি প্রায়শই উত্থিত হয়। 🤔
এই গাইডে, আমরা ব্যবহার করার সময় গ্যামগুলিতে শক্তিশালী স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি অনুমান করার জন্য ব্যবহারিক পদ্ধতির সন্ধান করি বাম ()। উন্নত পরিসংখ্যান কৌশল এবং বিদ্যমান আর প্যাকেজগুলি উপকারের মাধ্যমে আমরা আমাদের মডেলগুলির দৃ ust ়তা বাড়িয়ে তুলতে পারি। আসুন বিশদগুলিতে ডুব দিন এবং একসাথে এই দীর্ঘস্থায়ী চ্যালেঞ্জটি সমাধান করুন!
| কমান্ড | ব্যবহারের উদাহরণ |
|---|---|
| bam() | বিএএম () ফাংশন থেকে এমজিসিভি প্যাকেজটি দক্ষতার সাথে বৃহত জেনারেলাইজড অ্যাডেটিভ মডেলগুলি (জিএএমএস) ফিট করতে ব্যবহৃত হয়। এটি বিগ ডেটা এবং সমান্তরাল প্রক্রিয়াকরণের জন্য অনুকূলিত, জিএএম () এর বিপরীতে, যা ছোট ডেটাসেটের জন্য আরও উপযুক্ত। |
| s() | এস () ফাংশনটি জিএএমএসে মসৃণ পদগুলি সংজ্ঞায়িত করে। এটি ভবিষ্যদ্বাণীকারী এবং প্রতিক্রিয়া ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে ননলাইনার সম্পর্কের মডেল করার জন্য একটি স্প্লাইন প্রয়োগ করে, এটি নমনীয় রিগ্রেশন মডেলিংয়ের জন্য প্রয়োজনীয় করে তোলে। |
| vcovCL() | এই ফাংশন থেকে স্যান্ডউইচ প্যাকেজ মডেল সহগের জন্য একটি ক্লাস্টার-রোবাস্ট কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স গণনা করে। এটি ক্লাস্টার পারস্পরিক সম্পর্কের জন্য অ্যাকাউন্টিংয়ের মাধ্যমে স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি সামঞ্জস্য করে, যা জরিপ এবং গোষ্ঠীযুক্ত ডেটা বিশ্লেষণের জন্য গুরুত্বপূর্ণ। |
| coeftest() | কোফেস্টেস্ট () ফাংশন থেকে lmtest প্যাকেজটি মডেল সহগের জন্য হাইপোথিসিস পরীক্ষা পেতে ব্যবহৃত হয়। ভিসিভিসিএল () এর সাথে একত্রিত হয়ে গেলে, এটি আরও নির্ভরযোগ্য পরিসংখ্যানগত অনুমান নিশ্চিত করে শক্তিশালী মান ত্রুটি সরবরাহ করে। |
| boot() | এই ফাংশন থেকে বুট প্যাকেজ বুটস্ট্র্যাপিং সম্পাদন করে, স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি এবং আত্মবিশ্বাসের অন্তরগুলি অনুমান করতে ব্যবহৃত একটি পুনর্নির্মাণ কৌশল। স্ট্যান্ডার্ড বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতিগুলি ব্যর্থ হলে এটি বিশেষভাবে কার্যকর। |
| indices | বুটস্ট্র্যাপিংয়ে, সূচকগুলি প্যারামিটার প্রতিটি বুটস্ট্র্যাপ পুনরাবৃত্তির জন্য পুনর্নির্মাণ সারি সূচকগুলি সরবরাহ করে। এটি মূল ডেটার বিভিন্ন সাবসেটে মডেলটিকে রিফিট করতে দেয়। |
| apply() | প্রয়োগ () ফাংশন একটি অ্যারের মাত্রা জুড়ে সংক্ষিপ্ত পরিসংখ্যান (উদাঃ, স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি) গণনা করে। এই প্রসঙ্গে, এটি সিমুলেশন ফলাফল থেকে বুটস্ট্র্যাপ স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি বের করে। |
| set.seed() | সেট.সাইড () ফাংশনটি বুটস্ট্র্যাপিং এবং ডেটা সিমুলেশন হিসাবে এলোমেলো প্রক্রিয়াগুলিতে পুনরুত্পাদনযোগ্যতা নিশ্চিত করে। একটি বীজ নির্ধারণের ফলে ফলাফলগুলি রান জুড়ে সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে দেয়। |
| diag() | ডায়াগ () ফাংশনটি আনুমানিক বৈকল্পিকগুলি থেকে স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি গণনা করার জন্য একটি ম্যাট্রিক্সের তির্যক উপাদানগুলি যেমন ভেরিয়েন্স-কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সকে নিষ্কাশন করে। |
জিএএম মডেলগুলিতে শক্তিশালী স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি প্রয়োগ করা
সাধারণীকরণের সংযোজন মডেল (গ্যামস) ডেটাতে ননলাইনার সম্পর্কগুলি ক্যাপচারে বিশেষত জটিল জরিপ ডেটাসেটগুলির সাথে কাজ করার সময় অত্যন্ত কার্যকর। যাইহোক, অ্যাকাউন্টিং করার সময় অন্যতম প্রধান চ্যালেঞ্জ দেখা দেয় ক্লাস্টারড ডেটা, যা উপেক্ষা করা হলে অবমূল্যায়িত মান ত্রুটি হতে পারে। আমাদের পূর্ববর্তী উদাহরণগুলিতে বিকশিত স্ক্রিপ্টগুলি ক্লাস্টার-রোবাস্ট বৈকল্পিক অনুমান এবং বুটস্ট্র্যাপিং কৌশল উভয়ই প্রয়োগ করে এই সমস্যাটি সমাধান করার লক্ষ্য। এই পদ্ধতিগুলি নিশ্চিত করে যে ডেটা পয়েন্টগুলি সত্যই স্বাধীন না হলেও, অনুমানটি নির্ভরযোগ্য থেকে যায়।
প্রথম স্ক্রিপ্ট লাভ করে এমজিসিভি প্যাকেজটি ব্যবহার করে একটি গ্যাম ফিট করার জন্য বাম () ফাংশন, যা বড় ডেটাসেটের জন্য অনুকূলিত। এই স্ক্রিপ্টের একটি মূল উপাদান হ'ল ব্যবহার ভিসিভসিএল () থেকে ফাংশন স্যান্ডউইচ প্যাকেজ। এই ফাংশনটি ক্লাস্টারিং কাঠামোর উপর ভিত্তি করে স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি সামঞ্জস্য করে একটি ক্লাস্টার-রোবস্ট ভেরিয়েন্স-কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স গণনা করে। ব্যবহার করে কোফেস্টেস্ট () থেকে lmtest প্যাকেজ, তারপরে আমরা সমন্বিত পরিসংখ্যানগত অনুমান পেতে এই শক্তিশালী কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স প্রয়োগ করতে পারি। এই পদ্ধতিটি মহামারীবিজ্ঞান বা অর্থনীতির মতো ক্ষেত্রে বিশেষত কার্যকর, যেখানে ডেটা প্রায়শই অঞ্চল, হাসপাতাল বা জনসংখ্যার বিভাগ দ্বারা গোষ্ঠীভুক্ত করা হয়। 📊
দ্বিতীয় স্ক্রিপ্ট প্রয়োগ করে একটি বিকল্প পদ্ধতি সরবরাহ করে বুটস্ট্র্যাপিং। প্রথম পদ্ধতির বিপরীতে, যা ভেরিয়েন্স-কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সকে সামঞ্জস্য করে, বুটস্ট্র্যাপিং বারবার মডেল সহগের বিতরণ অনুমান করার জন্য ডেটা পুনরায় সেম্পল করে। দ্য বুট () থেকে ফাংশন বুট প্যাকেজটি এখানে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি আমাদের ডেটা বিভিন্ন সাবসেটে একাধিকবার জিএএমটি রিফিট করতে দেয়। বুটস্ট্র্যাপড অনুমানের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি তখন স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির একটি পরিমাপ হিসাবে কাজ করে। ছোট ডেটাসেটগুলির সাথে কাজ করার সময় এই পদ্ধতিটি বিশেষভাবে উপকারী যেখানে অ্যাসিম্পোটিক আনুমানিকগুলি ধরে রাখতে পারে না। বিভিন্ন স্টোর জুড়ে গ্রাহক ক্রয়ের আচরণগুলি বিশ্লেষণ করার কল্পনা করুন-বুটস্ট্র্যাপিং কার্যকরভাবে স্টোর-স্তরের বিভিন্নতার জন্য অ্যাকাউন্টে সহায়তা করে। 🛒
উভয় পন্থা জিএএম মডেলগুলিতে অনুমানের নির্ভরযোগ্যতা বাড়ায়। ক্লাস্টার-রোবাস্ট স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি গোষ্ঠীযুক্ত ডেটার জন্য দ্রুত সামঞ্জস্য সরবরাহ করে, বুটস্ট্র্যাপিং আরও নমনীয়, ডেটা-চালিত বিকল্প সরবরাহ করে। উপলভ্য ডেটাসেটের আকার এবং গণনামূলক সংস্থানগুলির উপর নির্ভর করে কেউ উভয় পদ্ধতি বেছে নিতে পারে। বড় ডেটাসেটের জন্য, বাম () সাথে মিলিত ফাংশন ভিসিভসিএল () আরও দক্ষ, যেখানে বুটস্ট্র্যাপিং কার্যকর হতে পারে যখন গণনা ব্যয় কোনও বাধা না হয়। শেষ পর্যন্ত, এই কৌশলগুলি বোঝার বিষয়টি নিশ্চিত করে যে জিএএম মডেলগুলি থেকে প্রাপ্ত সিদ্ধান্তগুলি পরিসংখ্যানগতভাবে যথাযথ এবং বাস্তব-বিশ্বের পরিস্থিতিতে প্রযোজ্য।
ক্লাস্টারড ডেটা সহ গ্যাম মডেলগুলির জন্য শক্তিশালী স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি গণনা করা
আর এবং এমজিসিভি প্যাকেজ ব্যবহার করে বাস্তবায়ন
# Load necessary packageslibrary(mgcv)library(sandwich)library(lmtest)library(dplyr)# Simulate clustered survey dataset.seed(123)n <- 500 # Number of observationsclusters <- 50 # Number of clusterscluster_id <- sample(1:clusters, n, replace = TRUE)x <- runif(n, 0, 10)y <- sin(x) + rnorm(n, sd = 0.5) + cluster_id / 10data <- data.frame(x, y, cluster_id)# Fit a GAM model with a spline for xgam_model <- bam(y ~ s(x), data = data)# Compute cluster-robust standard errorsrobust_vcov <- vcovCL(gam_model, cluster = ~cluster_id, type = "HC3")robust_se <- sqrt(diag(robust_vcov))# Display resultscoeftest(gam_model, vcov. = robust_vcov)
বিকল্প পদ্ধতির: শক্তিশালী স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির জন্য বুটস্ট্র্যাপিং ব্যবহার করা
আরও নির্ভরযোগ্য অনুমানের জন্য বুটস্ট্র্যাপ বাস্তবায়ন আর
# Load necessary packageslibrary(mgcv)library(boot)# Define bootstrap functionboot_gam <- function(data, indices) {boot_data <- data[indices, ]model <- bam(y ~ s(x), data = boot_data)return(coef(model))}# Perform bootstrappingset.seed(456)boot_results <- boot(data, boot_gam, R = 1000)# Compute bootstrap standard errorsboot_se <- apply(boot_results$t, 2, sd)# Display resultsprint(boot_se)
জিএএম মডেলগুলিতে ক্লাস্টার্ড ডেটা পরিচালনা করার জন্য উন্নত পদ্ধতি
ব্যবহারের একটি সমালোচনামূলক দিক জেনারালাইজড অ্যাডিটিভ মডেল (জিএএমএস) ক্লাস্টারড ডেটা সহ পর্যবেক্ষণগুলির মধ্যে স্বাধীনতার অনুমান। যখন কোনও গোষ্ঠীর মধ্যে ডেটা পয়েন্টগুলি সাদৃশ্যগুলি ভাগ করে - যেমন একই পরিবারের জরিপের উত্তরদাতারা বা একই হাসপাতালে চিকিত্সা করা রোগীদের - স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির অনুমান পক্ষপাতদুষ্ট হতে পারে। এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য একটি পদ্ধতি ব্যবহার করা হচ্ছে মিশ্র-প্রভাব মডেল, যেখানে ক্লাস্টার-নির্দিষ্ট এলোমেলো প্রভাবগুলি চালু করা হয়। এই পদ্ধতির একটি জিএএম কাঠামোর নমনীয়তা বজায় রেখে গ্রুপ-পারস্পরিক সম্পর্কের অনুমতি দেয়।
আরেকটি উন্নত কৌশল হ'ল ব্যবহার সাধারণীকরণ অনুমান সমীকরণ (জিইই), যা ক্লাস্টারড পর্যবেক্ষণের জন্য একটি কার্যকারী সম্পর্কের কাঠামো নির্দিষ্ট করে শক্তিশালী মান ত্রুটি সরবরাহ করে। ক্লাস্টার-রোবাস্ট বৈকল্পিক অনুমানের পদ্ধতির বিপরীতে, জিইইএস সরাসরি গ্রুপগুলির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কের প্যাটার্নকে মডেল করে। এটি অনুদৈর্ঘ্য গবেষণায় বিশেষত কার্যকর, যেখানে সময়ের সাথে সাথে একই ব্যক্তিদের পর্যবেক্ষণ করা হয় এবং বারবার ব্যবস্থাগুলির মধ্যে নির্ভরতা অবশ্যই গণনা করা উচিত। গিজ ব্যবহার করে প্রয়োগ করা যেতে পারে geepack আর।
রিয়েল-ওয়ার্ল্ড অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে, মিশ্র মডেল, জিইইএস বা ক্লাস্টার-রোবাস্ট স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলির মধ্যে নির্বাচন করা অধ্যয়নের নকশা এবং গণনার সীমাবদ্ধতার উপর নির্ভর করে। মিশ্র মডেলগুলি আরও নমনীয় তবে গণনামূলকভাবে নিবিড়, যখন জিইইএস দক্ষতা এবং দৃ ust ়তার মধ্যে ভারসাম্য সরবরাহ করে। উদাহরণস্বরূপ, আর্থিক ঝুঁকি মডেলিংয়ে, একই প্রতিষ্ঠানের মধ্যে ব্যবসায়ীরা একইভাবে আচরণ করতে পারে, গ্রুপ নির্ভরতা কার্যকরভাবে ক্যাপচার করার জন্য একটি শক্তিশালী মডেলিং কৌশল প্রয়োজন। সঠিক পদ্ধতি নির্বাচন করা নিশ্চিত করে পরিসংখ্যান বৈধতা এবং জিএএম-ভিত্তিক ভবিষ্যদ্বাণীগুলির ভিত্তিতে সিদ্ধান্ত গ্রহণকে বাড়ায়। 📊
জিএএমএসে শক্তিশালী মান ত্রুটি সম্পর্কিত মূল প্রশ্নগুলি
- কীভাবে শক্তিশালী স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি জিএএম অনুমানের উন্নতি করে?
- তারা গ্রুপ-পারস্পরিক সম্পর্কের জন্য সামঞ্জস্য করে, অবমূল্যায়িত স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি প্রতিরোধ করে এবং বিভ্রান্তিকর পরিসংখ্যানগত সূচনাগুলি প্রতিরোধ করে।
- মধ্যে পার্থক্য কি vcovCL() এবং বুটস্ট্র্যাপিং?
- vcovCL() ক্লাস্টার-অ্যাডজাস্টেড কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে বিশ্লেষণাত্মকভাবে স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি সংশোধন করে, যেখানে বুটস্ট্র্যাপিং অনুমানের ত্রুটিগুলি পুনর্নির্মাণের মাধ্যমে অভিজ্ঞতার সাথে অনুমান করে।
- আমি কি ব্যবহার করতে পারি? bam() মিশ্র মডেলগুলির সাথে?
- হ্যাঁ, bam() এর মাধ্যমে এলোমেলো প্রভাব সমর্থন করে bs="re" বিকল্প, এটি ক্লাস্টারড ডেটার জন্য উপযুক্ত করে তোলে।
- আমার কখন ব্যবহার করা উচিত GEE ক্লাস্টার-রোবস্ট স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলির পরিবর্তে?
- আপনার যদি অনুদৈর্ঘ্য বা পুনরাবৃত্তি ব্যবস্থাগুলি ডেটাতে স্পষ্টভাবে সম্পর্কের কাঠামোগুলি মডেল করতে হয়, GEE একটি ভাল পছন্দ।
- জিএএম মডেলগুলিতে ক্লাস্টারিংয়ের প্রভাবটি কল্পনা করা কি সম্ভব?
- হ্যাঁ, আপনি ব্যবহার করতে পারেন plot(gam_model, pages=1) মসৃণ শর্তাদি পরিদর্শন করতে এবং ক্লাস্টার্ড ডেটাতে নিদর্শনগুলি সনাক্ত করতে।
গ্যাম-ভিত্তিক অনুমানের নির্ভরযোগ্যতা বাড়ানো
সঠিকভাবে মান ত্রুটিগুলি অনুমান করা গ্যাম মডেলগুলি গুরুত্বপূর্ণ, বিশেষত ক্লাস্টারড জরিপের ডেটা নিয়ে কাজ করার সময়। যথাযথ সামঞ্জস্য ছাড়াই, স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি অবমূল্যায়ন করা যেতে পারে, যা অত্যধিক আত্মবিশ্বাসী ফলাফলের দিকে পরিচালিত করে। মত পদ্ধতি ব্যবহার ক্লাস্টার-রোবাস্ট বৈকল্পিক অনুমান বা বুটস্ট্র্যাপিং মডেল সহগের তাত্পর্য নির্ধারণের জন্য আরও নির্ভরযোগ্য উপায় সরবরাহ করে।
আর এ এই কৌশলগুলি বাস্তবায়নের মাধ্যমে গবেষকরা অর্থনীতি, মহামারীবিজ্ঞান এবং মেশিন লার্নিংয়ের মতো ক্ষেত্রে আরও ভাল-অবহিত সিদ্ধান্ত নিতে পারেন। ত্রুটিগুলি ব্যবহার করে সামঞ্জস্য করা হচ্ছে কিনা ভিসিভসিএল () বা মিশ্র-প্রভাব মডেল নিয়োগ করা, এই পদ্ধতিগুলি বোঝা শক্তিশালী এবং ডিফেন্সেবল পরিসংখ্যানগত মডেলিং নিশ্চিত করে। এগুলি সঠিকভাবে প্রয়োগ করা জটিল ডেটাগুলিকে কার্যক্ষম অন্তর্দৃষ্টিগুলিতে অনুবাদ করতে সহায়তা করে। 🚀
জিএএম মডেলগুলিতে শক্তিশালী মান ত্রুটিগুলি অনুমান করার জন্য উল্লেখগুলি
- জিএএম মডেলগুলির সাথে শক্তিশালী স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি গণনা করার বিষয়ে বিশদ আলোচনার জন্য, এই স্ট্যাক ওভারফ্লো থ্রেড দেখুন: জিএএম মডেলের সাথে শক্তিশালী স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলির গণনা ।
- 'GKRLS' প্যাকেজটি 'ESTFUN.GAM' ফাংশন সরবরাহ করে, যা 'এমজিসিভি' দিয়ে শক্তিশালী বা ক্লাস্টারযুক্ত স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি অনুমান করার জন্য প্রয়োজনীয়। আরও তথ্য এখানে পাওয়া যাবে: 'এমজিসিভি' দিয়ে শক্তিশালী/ক্লাস্টার্ড স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি অনুমান করা ।
- 'বিএএম' ফাংশন সহ 'এমজিসিভি' প্যাকেজে বিস্তৃত ডকুমেন্টেশনের জন্য, অফিসিয়াল ক্র্যান ম্যানুয়ালটি দেখুন: mgcv.pdf ।
- এই সংস্থানটি আর -তে শক্তিশালী এবং ক্লাস্টার্ড স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলির অন্তর্দৃষ্টি সরবরাহ করে, যা জিএএম মডেলগুলিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে: আর এর সাথে দৃ ust ় এবং ক্লাস্টার্ড স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি ।